「自然科学の統計学」第11章演習問題4-極座標法を丁寧に解説してみた

統計基礎
元教師
元教師

こんにちは!データサイエンティストの青木和也(https://twitter.com/kaizen_oni)です!

今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第11章-演習問題4「極座標法」について丁寧に解説をしていきたいと思います!

逆関数の微分や偏微分などの高校数学の復習にもなりますので、数学問題のコテならしにぜひ取り組んでみてください!

問題文

<極座標法>

正規乱数を発生するための極座標法(11.6)が正しいことを、次の方針に従って確かめよ.

確率変数の組(U1,U2)の密度関数をf(u1,u2)(X1,X2)の密度関数をg(x1,x2)とすると、

g(x1,x2)=|J|f(u1,u2)

が成り立つ。

ただし、|J|はヤコビ行列式(ヤコビアン)

J=(u1,u2)(x1,x2)

の絶対値である

※(11.6)

X1=2logU1cos(2πU2)

X2=2logU1sin(2πU2)

なお、U1,U2は一様乱数であり、X1,X2が互いに標準正規分布N(0,1)に従うことを証明することが今回の演習のゴールである

東京大学教養学部統計学教室『自然科学の統計学』(東京大学出版社/2001) 第11章 P331~332

解説

本問題は以下の3ステップで解いていきます。

  • 式変形をして、u1,u2を求める
  • u1,u2x1,x2でそれぞれ偏微分する
  • ヤコビ行列式を計算する
  • |J|f(u1,u2)を計算する

順を追って解説していきます.

式変形をして、u1,u2を求める

確率変数の実現値

x1=2logu1cos(2πu2)(1)

x2=2logu1sin(2πu2)(2)

について考える。

(1)式と(2)式を2乗して合計すると

x12+x22=2logu1(cos2(2πu2)+sin2(2πu2))=2logu1

2logu1=(x12+x22)

u1=ex12+x222()

()式を(1)式に代入すると、

x1=x12+x22cos(2πu2)

cos(2πu2)=x1x12+x22

ここで、上式を図示すると以下のようになる。

※分かり易さのために直角三角形で書いていますが、実際には0u21より02πu22πであることから、上記関係図は本来的には座標として表現した方が正しいです。

ここで、三平方の定理より、上図の縦の辺の長さがx2であることがわかります。

ここで、上図から以下のような式が成り立つことが分かります。

tan(2πu2)=x2x1

2πu2=tan1(x2x1)

u2=12πtan1(x2x1)

よって、ここまでの計算の結果をまとめると、

u1=ex12+x222

u2=12πtan1(x2x1)

u1,u2x1,x2でそれぞれ偏微分する

u1x1,x2でそれぞれ偏微分すると、

u1x1=x1ex12+x222=x1u1

u1x2=x2ex12+x222=x2u1

u1x1,x2でそれぞれ偏微分する前に、tan1xの微分について考える。

y=tan1xとすると、x=tanyであることから

dydx=1dxdy=11cos2y

ここで、三角関数の性質から

1+tan2y=1cos2y

よって、

dydx=11+tan2y=11+x2

これを利用してu2x1での偏微分を考えると

u2x1=12π(x2x12)11+(x2x1)2

=12πx2x12+x22

同様にして、u2x2での偏微分を考えると

u2x2=12π(1x1)11+(x2x1)2

=12π(x1x12)11+(x2x1)2

=12πx1x12+x22

ヤコビ行列式を計算する

先ほどまでの計算結果を使ってヤコビ行列を計算すると、

=u1x1u2x2u1x2u2x1

=12π1x12+x22(x1u1×x1(x2u1)×(x2))

=12π1x12+x22(u1(x12+x22))=u12π

=12πexp(x12+x222)

=12πexp(x122)×12πexp(x222)

よって、絶対値を取ると、

|J|=12πexp(x122)×12πexp(x222)

|J|f(u1,u2)を計算する

ここで、u1,u2は一様乱数であるから

f(u1,u2)=1  (0u11, 0u21)

これは

f(u1,u2)du1du2=0101f(u1,u2)du1du2=1であることから確かめられる。

よって、g(x1,x2)について

g(x1,x2)=|J|f(u1,u2)=12πexp(x122)×12πexp(x222)

これは、確率変数X1,X2が互いに独立で、標準正規分布に従うことを表す。

まとめ

今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第11章-演習問題4「極座標法」について丁寧に解説していきました!

x1,x2からu1,u2の式を導出する過程は少しテクニックが必要だと感じたのではないでしょうか?

本記事の解説が皆さんの独学の助けとなれば幸いです!

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