
こんにちは!データサイエンティストの青木和也(https://twitter.com/kaizen_oni)です!
今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第11章-演習問題4「極座標法」について丁寧に解説をしていきたいと思います!
逆関数の微分や偏微分などの高校数学の復習にもなりますので、数学問題のコテならしにぜひ取り組んでみてください!
問題文
<極座標法>
正規乱数を発生するための極座標法(11.6)が正しいことを、次の方針に従って確かめよ.
確率変数の組
の密度関数を 、 の密度関数を とすると、
が成り立つ。
ただし、
はヤコビ行列式(ヤコビアン)
の絶対値である
※(11.6)
なお、
東京大学教養学部統計学教室『自然科学の統計学』(東京大学出版社/2001) 第11章 P331~332は一様乱数であり、 が互いに標準正規分布 に従うことを証明することが今回の演習のゴールである
解説
本問題は以下の3ステップで解いていきます。
- 式変形をして、
を求める を でそれぞれ偏微分する- ヤコビ行列式を計算する
を計算する
順を追って解説していきます.
式変形をして、 を求める
確率変数の実現値
について考える。
(1)式と(2)式を2乗して合計すると
ここで、上式を図示すると以下のようになる。

※分かり易さのために直角三角形で書いていますが、実際には
ここで、三平方の定理より、上図の縦の辺の長さが

ここで、上図から以下のような式が成り立つことが分かります。
よって、ここまでの計算の結果をまとめると、
を でそれぞれ偏微分する
ここで、三角関数の性質から
よって、
これを利用して
同様にして、
ヤコビ行列式を計算する
先ほどまでの計算結果を使ってヤコビ行列を計算すると、

よって、絶対値を取ると、
を計算する
ここで、
これは
よって、
これは、確率変数
まとめ
今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第11章-演習問題4「極座標法」について丁寧に解説していきました!
本記事の解説が皆さんの独学の助けとなれば幸いです!
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