こんにちは！データサイエンティストの青木和也（https://twitter.com/kaizen_oni）です！
今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第1章-演習問題2「幾何分布」を丁寧に解説していきたいと思います。
書籍の回答とは別のパターンで解説しているので、「その解き方もあったか！」と参考にしていただけると幸いです!
問題文
＜幾何分布＞
幾何分布に従う確率変数$X$の期待値を求めよ
東京大学教養学部統計学教室『自然科学の統計学』(東京大学出版社/2001) 第1章 P22
幾何分布とは？
ある試行について、最初の成功$S$が出現するまでの試行回数を$x$とするとき、成功する確率を$q = 1-p$とすると
$$f(x) = pq^{x-1}, ~~~x = 1,2,3,\cdots$$
を幾何分布の確率密度関数として定義する。
離散確率分布の期待値と分散の定義
離散的な確率変数において、取りうる値が$x_i,~i = 0,1,2,\cdots$であるとき確率関数$p_i$を
$$p_i = P(X = x_i)~~(i = 0,1,2,\cdots)$$
で定義する。この時、期待値$E(X)$と以下の式で定義する。
$$E(X) = \sum_i p_i x_i$$
また、$\mu = E(X)$とすると分散$V(X)$は以下の式で定義する。
$$V(X) = E\{(X- \mu)^2\} = \sum_i p_i (x_i – \mu)^2$$
また、上式を変形すると、以下の式が求められる
$$V(X) = E\{(X- \mu)^2\} = E(X^2) – \mu^2$$
解説
幾何分布の確率密度関数は
$$f(x) = pq^{x-1}$$
で表されるので、その期待値は以下式によって求められる。
$$E(X) = \sum_{x = 1}^{\infty} xpq^{x-1}$$
ここで、$S_n = \sum xq^{x-1}$とすると
$$ S_n = 1 + 2q + 3q^2 + \cdots ~~+ nq^{n-1} \cdots (1)$$
(1)式の両辺に$q$をかけると
$$qS_n = ~~~~q + 2q^2 + \cdots + (n-1)q^{n-1} + nq^n \cdots (2)$$
(1)式$-$(2)式をすると
$$(1-q)S_n = 1 + q + q^2 + cdots + q^{n-1} – nq^n$$
ここで、$1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}$は初項1、等比$q$の等比級数であることを利用すると
$$(1-q)S_n = \frac{1- q^n}{1-q} – nq^n$$
$$S_n = \frac{1-q^n}{(1-q)^2} – \frac{nq^n}{1-q}$$
ここで、
$$\sum_{x = 1}^\infty xq^{x-1} = \lim_{n\to \infty}S_n$$
であるから、$S_n$を$n\to\infty$とすると、$0 < q <1$より
$$\lim_{n\to \infty}S_n = \frac1{(1-q)^2} = \frac1{p^2}$$
よって、求める期待値は
$$E(X) = p \times \frac{1}{p^2} = \frac1p$$
まとめ
今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第1章-演習問題2「幾何分布」を丁寧に解説していきました！
書籍の略解ではモーメント母関数を使った解説をしていますが、本記事では期待値の定義から直接計算をしてみました！
皆さんの独学の助けに少しでもなれば幸いです！
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