「自然科学の統計学」第1章演習問題1-二項分布を丁寧に解説してみた

元教師

こんにちは！データサイエンティストの青木和也（https://twitter.com/kaizen_oni）です！

今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第1章-演習問題1「二項分布」を丁寧に解説していきたいと思います。

確率分布の期待値/分散計算の基礎的な内容を扱っているので、皆さんもぜひ本演習から他の確率分布の期待値/分散を求めていただけると幸いです！

問題文
$E (X)$ の導出
$V (X)$ の導出
まとめ

問題文

＜二項分布＞

二項分布 $B i (n, p)$ の期待値と分散を、定義に従って導け.
東京大学教養学部統計学教室『自然科学の統計学』(東京大学出版社/2001) 第1章 P22

離散確率分布の期待値と分散の定義

離散的な確率変数において、取りうる値が $x_{i}, i = 0, 1, 2, \dots$ であるとき確率関数 $p_{i}$ を

$p_{i} = P (X = x_{i}) (i = 0, 1, 2, \dots)$

で定義する。この時、期待値 $E (X)$ と以下の式で定義する。

$E (X) = \sum_{i} p_{i} x_{i}$

また、 $μ = E (X)$ とすると分散 $V (X)$ は以下の式で定義する。

$V (X) = E {(X - μ)^{2}} = \sum_{i} p_{i} (x_{i} - μ)^{2}$

また、上式を変形すると、以下の式が求められる

$V (X) = E {(X - μ)^{2}} = E (X^{2}) - μ^{2}$

二項分布の確率関数

ある試行が成功する確率を $p$ 、失敗する確率を $q = 1 - p$ とすると、 $n$ 回中 $k$ 回成功する確率 $p (x)$ は以下の式で与えられる。

$p (x) =_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$

組み合わせ $_{n} C_{k}$

$n$ 個から $k$ 個を取り出す組み合わせの総数 $_{n} C_{k}$ は次のように計算する

$_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

二項定理とは？

任意の有理数 $a, b$ と任意の正整数 $n$ について、以下の式を二項定理と呼ぶ

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} a^{n - k} b^{k}$

$E (X)$ の導出

$E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k}$

$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! k!} k p^{k} q^{n - k}$

ここで、

$\frac{k}{k!} = \frac{k}{k \cdot (k - 1) \dots 1} = \frac{1}{(k - 1) \dots 1}$

であるから、

$E (X) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! (k - 1)!} p^{k} q^{n - k}$

$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - k)! (k - 1)!} p^{k} q^{n - k}$

$= \sum_{k = 1}^{n}_{n - 1} C_{k - 1} n p^{k} q^{n - k}$

$= n p \sum_{k = 1}^{n}_{n - 1} C_{k - 1} p^{k - 1} q^{n - k}$

$= n p \sum_{k = 0}^{n}_{n - 1} C_{k} p^{k} q^{n - k - 1}$

$= n p (p + q)^{n - 1} = n p \times 1^{n - 1} = n p$

$V (X)$ の導出

$V (X)$ を求めるために、 $μ = n p$ が分かっているので $E (X^{2})$ が分かればいい。

先ほどの計算を利用すると、 $E (X^{2})$ を求めるために $E [X (X - 1)]$ をまず求める。

$E [X (X - 1)] = \sum_{k = 1}^{n} k (k - 1)_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k}$

$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! k!} k (k - 1) p^{k} q^{n - k}$

$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! (k - 2)!} p^{k} q^{n - k}$

$= n (n - 1) \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 2)!}{(n - k)! (k - 2)!} p^{k} q^{n - k}$

$= n (n - 1) \sum_{k = 1}^{n}_{n - 2} C_{k - 2} p^{k} q^{n - k}$

$= n (n - 1) p^{2} \sum_{k = 1}^{n}_{n - 2} C_{k - 2} p^{k - 2} q^{n - k}$

$_{n - 2} C_{k - 1}$ において、 $k = 0, 1$ の場合を考えると $_{n - 2} C_{- 1}$ のようになりますが、これは文章にすると「 $n - 2$ 個の中から $- 1$ 個を取り出す」という意味となり、そのような組み合わせは存在しないことが分かります。

つまり、 $_{n - 2} C_{- 1} =_{n - 2} C_{- 2} = 0$ となります。

余談ですが、 $_{n} C_{0} = 1$ はあらかじめ定められています。

$_{n - 2} C_{- 1} = 0$ は以下のようなロジックでも導くことができます。

$(n - 1)!$ について考える

$\frac{n!}{n} = (n - 1)! \dots (*)$

であることは自明と考えられます。

$(- 1)!$ について考える

$(*)$ 式に $n = 0$ を代入すると、

$(- 1)! = \frac{0!}{0} = \frac{1}{0}$

となり、 $(- 1)!$ は無限大に発散することがわかります。

$_{n - 2} C_{- 1}$ について考える

$_{n - 2} C_{- 1} = \frac{(n - 2)!}{(n - 1)! (- 1)!}$

である、分母に無限大があることから、

$_{n - 2} C_{- 1} = 0$

となることがわかります。

よって、

$E [X (X - 1)] = n (n - 1) p^{2} \sum_{k = 2}^{n}_{n - 2} C_{k - 2} p^{k - 2} q^{n - k}$

$= n (n - 1) p^{2} \sum_{k = 0}^{n - 2}_{n - 2} C_{k} p^{k} q^{n - k - 2}$

$= n (n - 1) p^{2} (p + q)^{n - 2} = n (n - 1) p^{2}$

よって、

$E [X (X - 1)] = n (n - 1) p^{2}$

$E (X^{2}) - E (X) = n (n - 1) p^{2}$

$E (X^{2}) = n (n - 1) p^{2} + E (X) = n (n - 1) p^{2} + n p$

よって、

$V (X) = E (X^{2}) - μ^{2} = n (n - 1) p^{2} + n p - (n p)^{2}$

$= n^{2} p^{2} - n p^{2} + n p - n^{2} p^{2} = n p - n p^{2} = n p (1 - p)$

まとめ

今回の記事では、統計学の青本「自然科学の統計学」の第1章-演習問題1「二項分布」を丁寧に解説しました！

本書には略解しか書いていませんが、意外に厳密に計算をしようとすると組み合わせ $_{n} C_{k}$ の $k$ が負の数にぶち当たったりなど、本書とはまた違った学びがあったかと思います。

本記事が皆さんの独学のお役に立てていれば幸いです！

問題文

離散確率分布の期待値と分散の定義

二項分布の確率関数

組み合わせnCk

二項定理とは？

E(X)の導出

V(X)の導出

(n−1)!について考える

(−1)!について考える

n−2C−1について考える

まとめ

コメント

組み合わせ $_{n} C_{k}$

$E (X)$ の導出

$V (X)$ の導出

$(n - 1)!$ について考える

$(- 1)!$ について考える

$_{n - 2} C_{- 1}$ について考える